যদি a=b² এবং b=a² হয় যেখানে a=b নয়, তাহলে কোনটি সত্য? 

দেওয়া আছে:

১. \(a = b^2\)

২. \(b = a^2\)

এবং \(a \neq b\)

আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে \(a\) এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(b = (b^2)^2\)

\(b = b^4\)

\(b^4 - b = 0\)

\(b(b^3 - 1) = 0\)

এখান থেকে দুটি সম্ভাবনা আসে:

১. \(b = 0\)

যদি \(b=0\) হয়, তাহলে \(a = b^2 = 0^2 = 0\)। এক্ষেত্রে \(a=b=0\) হয়, যা প্রশ্নে দেওয়া শর্ত \(a \neq b\) এর সাথে সাংঘর্ষিক। সুতরাং, \(b=0\) গ্রহণযোগ্য নয়।

২. \(b^3 - 1 = 0\)

\(b^3 = 1\)

এই সমীকরণের সমাধানগুলো হলো ঘনমূল (cube roots) যা বাস্তব এবং জটিল সংখ্যা হতে পারে।

বাস্তব সমাধান: \(b = 1\)

যদি \(b=1\) হয়, তাহলে \(a = b^2 = 1^2 = 1\)। এক্ষেত্রেও \(a=b=1\) হয়, যা প্রশ্নে দেওয়া শর্ত \(a \neq b\) এর সাথে সাংঘর্ষিক। সুতরাং, \(b=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, আমাদের জটিল (complex) সমাধানগুলো বিবেচনা করতে হবে। \(b^3 = 1\) এর জটিল সমাধানগুলো হলো \(\omega\) (ওমেগা) এবং \(\omega^2\) (ওমেগা স্কয়ার), যেখানে \(\omega\) হলো ১ এর একটি জটিল ঘনমূল।

আমরা জানি, জটিল ঘনমূলের ধর্ম অনুযায়ী \(1 + \omega + \omega^2 = 0\)।

এখন, যদি \(b = \omega\) হয়:

তাহলে \(a = b^2 = \omega^2\)।

এখানে \(a = \omega^2\) এবং \(b = \omega\)। যেহেতু \(\omega \neq \omega^2\) (কারণ \(\omega \neq 1\)), এই সমাধানটি \(a \neq b\) শর্তটি পূরণ করে।

দেওয়া দ্বিতীয় সমীকরণ \(b = a^2\) যাচাই করি:

\(\omega = (\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega\)। এটি সত্য।

যদি \(b = \omega^2\) হয়:

তাহলে \(a = b^2 = (\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega\)।

এখানে \(a = \omega\) এবং \(b = \omega^2\)। এটিও \(a \neq b\) শর্তটি পূরণ করে।

দেওয়া দ্বিতীয় সমীকরণ \(b = a^2\) যাচাই করি:

\(\omega^2 = (\omega)^2 = \omega^2\)। এটিও সত্য।

সুতরাং, আমাদের কাছে দুটি বৈধ জোড়া আছে: \((a,b) = (\omega^2, \omega)\) অথবা \((a,b) = (\omega, \omega^2)\)। উভয় ক্ষেত্রেই \(a\) এবং \(b\) হলো ১ এর জটিল ঘনমূল এবং \(a \neq b\)।

এখন, আমরা বিকল্পগুলো পরীক্ষা করব। আমরা জানি যে \(1 + \omega + \omega^2 = 0\)।

যেকোনো বৈধ জোড়া \((a,b)\) এর জন্য, \(a\) এবং \(b\) হলো \(\omega\) এবং \(\omega^2\)।

তাহলে \(a+b = \omega + \omega^2\)।

\(1 + \omega + \omega^2 = 0\) থেকে আমরা পাই, \(\omega + \omega^2 = -1\)।

সুতরাং, \(a+b = -1\)।

এবার বিকল্পগুলো যাচাই করি:

১. \(a+b = 0 \implies -1 = 0\), যা মিথ্যা।

২. \(a-b = 0 \implies a = b\), যা প্রশ্নে দেওয়া শর্ত \(a \neq b\) এর সাথে সাংঘর্ষিক।

৩. \(a+b+1 = 0 \implies (-1) + 1 = 0 \implies 0 = 0\), যা সত্য।

৪. \(a+b-1 = 0 \implies (-1) - 1 = 0 \implies -2 = 0\), যা মিথ্যা।

সুতরাং, \(a+b+1 = 0\) শর্তটি সত্য।